Die Fläche des Kreissegments

Beim Fachrechnen der Maler-Azubis wird der Kreisabschnitt (= das Kreissegment) nach einer Näherungsformel berechnet.
Diese Näherungsformel lautet A = (2/3)*s*h .

Diese Formel ist praktisch, da sie nur Größen enthält, die der Messung direkt zugänglich sind. Sie ist auch durch die VOB, Verdingungsordnung für Bauleistungen abgesegnet.

Als Mathematiker interessiert man sich natürlich für eine genaue Berechnung der Fläche. Alle Gleichungen für die Kreissegmentfläche, die ich in meinen Formelsammlungen gefunden habe, enthalten Größen, die der Messung nicht unmittelbar zugänglich sind. Was kann man tun?

Planfigur

Als erstes sieht man: Der Winkel a im grau unterlegten Segment ist gleich dem Winkel a bei C ,
da ihre Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen.
Damit ist der Mittelpunktswinkel 4*a.

a erhält man mittels ARCUSTANGENS als:

Der Höhensatz liefert einen Zusammenhang zwischen h, d-h und s/2 womit man auch d hat:

Für die Berechnung müssen zwei Fälle unterschieden werden:

• h ≤ s/2
• h > s/2

Der Fall h ≤ s/2

Wir geben keine geschlossene Formel an, sondern beschreiben nur die Schritte, die zur Berechnung notwendig sind.

1. a berechnen
2. Durchmesser d berechnen
3. Kreisfläche A_Kreis berechnen
4. Kreissektor als 4*a*A_Kreis/(2*p)
5. Dreiecksfläche D _(B,M,D) berechnen
6. A_Kreissegment = A_Kreissektor - D _(B,M,D)

Der Fall h > s/2

Wir geben auch hier nur die Schritte an, die zur Berechnung notwendig sind.

1. d-h bestimmen, d-h ist dann ≤ s/2
2. a aus d-h und s/2 bestimmen
3. Kreisfläche bestimmen
4. Für d-h den Fall h ≤ s/2 anwenden
5. Ergebnis von der Kreisfläche subtrahieren

Es folgt ein Formular zur Berechnung