Das Leiter-Würfel-Problem

Eine Leiter der Länge l (z.B. 10 m ) ist so an eine Wand angelehnt, dass sie die
obere Kante eines Würfels der Kantenlänge 1 m gerade berührt. In welcher Höhe liegt sie an der Wand an, wie weit ist ihr Fußpunkt von der Wand entfernt?

Versucht man sich an diesem Problem, so stösst man auf eine Gleichung 4-ten Grades.
Für solche Gleichungen gibt es ein allgemeines Lösungsverfahren,
das aber sehr aufwändig ist.
Interessant sind daher Lösungen, die dieses Verfahren vermeiden.
Ein sehr altes Problem, das bereits Newton bearbeitete und löste.
Im Internet finden sich viele verschiedene Lösungen hierzu.
Mir wurde eine erste Lösung, die den Euklidischen Divisionsalgorithmus für Polynome
verwendet, vor vielen Jahrzehnten von meinem Vater übermittelt.
Eine weitere habe ich selbst entwickelt. Eine dritte, davon unabhängige,
hat Rolf Leibfried aus Neustadt an der Weinstraße gefunden.
Einen Zugang zum Problem und weitere Lösungen findet man bei
www.mathematische-basteleien.de/leiter.htm.
Im Folgenden stelle ich meine Lösung vor.

1. Wir führen ein Koordinatensystem so ein, daß der
   Boden auf der negativen x-Achse und die Wand auf der y-Achse liegt. Die obere
   Würfelkante hat dann die Koordinaten (-1/1)
2. Wir betrachten Geraden durch (-1/1) mit Steigungen m > 0
3. Jeder Steigung m ordnen wir l²(m) das Quadrat der Länge des
   Geradenstücks zwischen den Schnittpunkten mit der
   negativen x-Achse und der y-Achse zu.
4. Die Bedingung l²(m) = Leiterläng² ergibt eine Gleichung 4-ten
   Gerades in m
5. Wir gehen von der Bestimmungsgleichung zu einem Polynom
   P(X) über, indem wir m durch die Unbestimmte X ersetzen
6. Wenn ein spezielles m Nullstelle dieses Polynoms ist ,
   so ist auch ihr Kehrwert 1/m Nullstelle
7. Die Linearfaktoren (X-m) und (X-(1/m)), und damit auch ihr Produkt
   Q(X)=(X-m)*(X-(1/m)), teilen P(X) daher restlos

8. Q(X) ist ein Polynom 2-ten Grades der Form X²-kX+1 mit k=m+(1/m)>0
9. Berechnet man P(X):Q(X) mit dem Euklidischen Divisionsalgorithmus,
   so erhält man aus    Rest = 0    eine quadratische Gleichung für k
10. m gewinnt man wieder als Lösung der quadratischen Gleichung m+(1/m)=k