Einige mathematische Probleme, die teils der Unterhaltungsmathematik zuzurechnen
sind

Alle hier aufgeführten Aufgabenstellungen sind mit den Mathematikkenntnissen (M) und etwas Physik (P) der gymnasialen Oberstufe lösbar!

Schwierigere Probleme sind mit (H) gekennzeichnet.

Es ist natürlich Ehrensache, zuerst selbst die Lösungen zu suchen!

1. Die Kreissegmentfläche (M)
2. Die Dreieck-Stern-Umwandlung (M)(P)
3. Zwei Leitern im Brunnen (M)
4. Das Leiter-Würfel-Problem (M)(H)
5. Wieviel Diagonalen hat das n-Eck? (M)
6. Zwei Fixpunktaufgaben. (M)(H)

1. Die Kreissegmentfläche

In den gängigen Formelsammlungen findet man exakte Gleichungen für die Kreissegmentfläche, die neben
der Sehnenlänge und der Höhe des Kreissegments den Kreisradius und den Mittelpunktswinkel verwenden.
In der Praxis sind meist nur Sehnenlänge und Höhe direkt messbar, daher verwendet man eine Näherungsformel.

Wie berechnet man A exakt aus s und h ?     Zur Lösung

2. Die Dreieck-Stern-Umwandlung

Um den Gesamtwiderstand von Widerstandsnetzen zu berechnen, ist es manchmal notwendig, Dreiecke von Wiederständen durch äquivalente
Sterne zu ersetzen. Die passenden Gleichungen findet man in jeder Elektrotechnik- und jeder guten Physik-Formelsammlung.
Auch für die Umkehrung, Stern von drei Widerständen zu äquivalentem Dreieck, findet man Gleichungen.

Wie erhält man diese Gleichungen aus den beiden Regeln für Gesamtwiederstände?
Gesamtwiderstand Für Reihenschaltung   R + S
Gesamtwiderstand für Parallelschaltung   (R^-1 + S^-1)^-1     Zur Lösung

3. Zwei Leitern im Brunnen

In einem Brunnen (Schacht) mit quadratischem Grundriss von b x b stehen zwei gerade Leitern unterschiedlicher Länge ( > b ) an
gegenüberliegenden Wänden; ihre oberen Enden liegen an der jeweils gegenüberliegenden Wand an.

In welcher Höhe über dem Brunnenboden kreuzen sich die Leitern?    Zum Formular

4. Das Leiter-Würfel-Problem

Ein Würfel der Kantenlänge 1,00 steht auf einem waagerechten Boden und berührt mit einer Würfelseite eine senkrechte Wand.
Eine Leiter der Länge l ( z.b. l=10,00 ) wird so an die Wand gestellt, dass sie die vordere obere Würfelkante gerade berührt.

In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand?
Wie weit ist der Fußpunkt der Leiter von der Wand entfernt?     Zur Lösung

5. Wieviel Diagonalen hat das n-Eck?

Wenn man die Lösung kennt, kann man die Gleichung für die Anzahl der Diagonalen leicht beweisen.
Wie findet man sie aber, falls man sie nicht kennt? Wie beweist man sie mit vollständiger Induktion?     Zur Lösung

6. Zwei Fixpunktaufgaben

Aufgabe 1

Vor: Sei I=[0,1] das abgeschlossene Intervall in den reellen Zahlen.
   und sei f: I → I eine stetige Funktion.
Beh: Es existiert ein x₀ ∈ I mit f(x₀)=x₀ .

Aufgabe 2

Vor: Sei I=[0,1] das abgeschlossene Intervall in den reellen Zahlen.
   und sei f: I → I eine streng monotone Funktion. ( a < b ⇒ f(a)< f(b))
Beh: Es existiert ein x₀ ∈ I mit f(x₀)=x₀ .